浮点格式是一种数据结构，用于指定包含浮点数的字段、这些字段的布局及其算术解释。浮点存储格式指定如何将浮点格式存储在内存中。自计算机发明以来，曾出现许多中不同的浮点数表示方式，但目前最通用的是 IEEE 二进制浮点数算术标准(IEEE Standard for Binary Floating-Point Arithmetic, 简称IEEE 754 标准)。

IEEE 中的浮点数

IEEE 754 标准中定义了表示浮点数的四种格式:

• 两种基本的浮点数: 单精确度(32 位字长) 和双精确度(64 位字长)。其中单精度格式具有24位有效数字，而双精度格式具有53 位有效数字，相对于十进制来说，分别是7位和16位有效数字。
• 两种扩展的浮点数: 单精度扩展和双精度扩展。此标准并未规定扩展格式的精度和大小，但它指定了最小精度和大小: 单精度扩展需43 位字长以上，双精确度扩展需79位字长以上:(64位有效数字)。单精度扩展很少使用，而对于双精确度扩展，不同的机器构架中有不同的规定，有的为80 位字长(X86),有的为128 位字长(SPARC)。

浮点数格式

通常一个浮点数由符号 s 、指数 E 和尾数 M 组成，格式为

1. (-1)^s 表示符号位，当 s = 0，V 为正数；当 s = 1，V 为负数。
2. M 是一个二进制小数，表示有效数字，大于等于1，小于2。
3. 2^E 表示指数位。

十进制的 5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01×2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s = 0，M = 1.01，E = 2。

十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01×2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。

我们从这个公式中可以分析出，阶码真值控制着小数点的位置，阶码每加1，整个数值增大2倍，小数点则向右移1位；阶码每减1，整个数值减小2倍，小数点则向左移动1位。

规格化的值

• 条件：阶码 exp不全为 0 且不全为1
• 阶码采用偏移量移码：E = Exp - Bias
  • Exp: exp 字段的无符号数值
  • 偏移量Bias = 2 ^ (k-1) - 1，k 为阶码的位数
    • 单精度：127（Exp：1 ~ 254， E：-126 ~ 127）
    • 双精度：1023（Exp：1 ~ 2046， E：-1022 ~ 1023）
• 尾数编码隐含先导数值1：M = 1.(frac）
  • frac = 0000…0(M = 1.0)时，为最小值
  • frac = 111…1(M = 2.0 - ε)时，为最大值

以单精度为例：

单精度格式(32位)中的阶码为8位， 另有一位尾数的符号位S，处在最高位。

应该指出的是，浮点数的分数部分与有效位部分两者是不同的， 由于IEEE754标准约定在小数点左部有一位隐含位，从而使其有效位实际有24位，这样便使尾数的有效值变为1M。阶码部分采用移码表示， 移码值为127，从而使阶码值的范围由原来的1到254，经移码后变为-126到+127。

非规格化的值

条件：阶码 exp 全为 0

• 阶码值：E = 1 - Bias
• 尾数编码隐含先导数值0：M = 0.(frac）

情况1：exp = 000..0, frac = 000.0

表示值0，根据符号位不同又有+0 和 -0之分

情况2：exp = 000..0, frac ≠ 000.0

特殊值

条件：exp = 1111..1

情况1：exp = 1111..1, frac = 000.0

表示无穷，根据符号位不同又有+∞ 和 -∞之分

情况2：exp = 1111..1, frac ≠ 000.0

不是一个数 Not A Number(NAN)

为什么阶码的偏移量是127？

机器零：

当浮点数的尾数为 0，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成零值，称为机器零。

当阶码 E 为全 0 且尾数 M 也为全 0 时，表示的真值 x 为零，结合符号位 S 为 0 或 1，有正零和负零之分。当阶码 E 为全1且尾数M 为全0时，表示的真值x 为无穷大，结合符号位S 为0或1，也有+∞和-∞之分。这样在32位浮点数表示中，要除去E 用全0和全1(255)10表示零和无穷大的特殊情况，指数的偏移值不选128(10000000)，而选127(01111111)。对于规格化浮点数，E 的范围变为1到254，真正的指数值e 则为-126到+127。因此32位浮点数表示的绝对值的范围是10 ^ (-38) ~ 10 ^ 38（以10的幂表示）——《计算机组成原理》

对于取127为偏移量的作用，有如下理解：

1. 主要是为了让表示的范围能够对称起来

   分两种情况计算：

   • 偏移值为127时，绝对值范围大致是：1.210^(-38)~3.410^(+38)；
   • 如果偏移值取为128时， 绝对值范围大致是：5.9 × 10^(-39) ~ 1.7 × 10^(+38)；

   可见偏移值取127时，上下范围基本对称，相对合理点

2. 除去非规格化、NaN和无穷大的数值

   如果选择偏移值128时，假设指数（不是阶码）为+127，按照e=E-128,则阶码为127+128=255，全为1 ，数值将为NaN和无穷大

   假设指数为0（包括正0和负0），按e=E-128,则正0+128=128，负0（补码）+128=0,可知E=0时，存在非规格化数

   由于8位E中，只有7位有效数字，7位能表示的大小为0-127，所以偏移量可以在0 ~ 127中任取一值，在IEEE754Z中规定取127.